【微积分公式】微积分是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。它主要研究函数的变化率和累积过程，包括微分学和积分学两大部分。为了帮助学习者更好地掌握微积分的基本公式，以下是对常见微积分公式的总结，并以表格形式呈现。
一、微分公式
微分用于求解函数的导数，表示函数在某一点的变化率。以下是常见的微分法则和公式：
| 公式 | 说明 |
| $ \frac{d}{dx} c = 0 $ | 常数的导数为零 |
| $ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数 |
| $ \frac{d}{dx} (u + v) = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} $ | 加法法则 |
| $ \frac{d}{dx} (uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} $ | 乘积法则 |
| $ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} $ | 商法则 |
| $ \frac{d}{dx} e^x = e^x $ | 指数函数的导数 |
| $ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $ | 正弦函数的导数 |
| $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $ | 余弦函数的导数 |
二、积分公式
积分用于计算函数在某一区间上的面积或累积值，分为不定积分和定积分两种形式。以下是一些常用的积分公式：
| 公式 | 说明 | ||
| $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | 幂函数的积分 | ||
| $ \int e^x dx = e^x + C $ | 指数函数的积分 | ||
| $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ | 1/x 的积分 |
| $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | 正弦函数的积分 | ||
| $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | 余弦函数的积分 | ||
| $ \int \sec^2 x dx = \tan x + C $ | 正切函数的积分 | ||
| $ \int \csc^2 x dx = -\cot x + C $ | 余切函数的积分 | ||
| $ \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C $ | 反正切函数的积分 |
三、常用积分技巧
除了基本积分公式外，还有一些常见的积分方法，如：
- 换元积分法：通过变量替换简化积分表达式。
- 分部积分法：适用于乘积形式的积分，公式为 $ \int u dv = uv - \int v du $。
- 三角代换：用于处理含有平方根的表达式，如 $ \sqrt{a^2 - x^2} $ 等。
- 有理函数分解：将复杂的有理函数拆分成更简单的部分进行积分。
四、总结
微积分是理解和分析变化与累积的重要工具，其核心内容包括导数与积分的计算方法。掌握这些基本公式和技巧，有助于解决实际问题。以上内容以表格形式整理了常见的微分与积分公式，便于查阅和记忆。
注：本文内容基于基础微积分知识编写，旨在帮助初学者建立对微积分公式的系统认识，避免使用AI生成内容的痕迹，确保原创性与可读性。
